Programmers | Level 2 | 수식 최대화
Programmers | Level 2 | 수식 최대화
Problems
- 📘 Src: Programmers
- 🗂️ Cat: Brute Force
Description
IT 벤처 회사를 운영하고 있는 라이언은 매년 사내 해커톤 대회를 개최하여 우승자에게 상금을 지급하고 있습니다. 이번 대회에서는 우승자에게 지급되는 상금을 이전 대회와는 다르게 다음과 같은 방식으로 결정하려고 합니다.
해커톤 대회에 참가하는 모든 참가자들에게는 숫자들과 3가지의 연산문자(+, -, *) 만으로 이루어진 연산 수식이 전달되며, 참가자의 미션은 전달받은 수식에 포함된 연산자의 우선순위를 자유롭게 재정의하여 만들 수 있는 가장 큰 숫자를 제출하는 것입니다.
단, 연산자의 우선순위를 새로 정의할 때, 같은 순위의 연산자는 없어야 합니다. 즉, + > - > * 또는 - > * > + 등과 같이 연산자 우선순위를 정의할 수 있으나 +,* > - 또는 * > +,-처럼 2개 이상의 연산자가 동일한 순위를 가지도록 연산자 우선순위를 정의할 수는 없습니다. 수식에 포함된 연산자가 2개라면 정의할 수 있는 연산자 우선순위 조합은 2! = 2가지이며, 연산자가 3개라면 3! = 6가지 조합이 가능합니다.
만약 계산된 결과가 음수라면 해당 숫자의 절댓값으로 변환하여 제출하며 제출한 숫자가 가장 큰 참가자를 우승자로 선정하며, 우승자가 제출한 숫자를 우승상금으로 지급하게 됩니다.
예를 들어, 참가자 중 네오가 아래와 같은 수식을 전달받았다고 가정합니다.
"100-200*300-500+20"
일반적으로 수학 및 전산학에서 약속된 연산자 우선순위에 따르면 더하기와 빼기는 서로 동등하며 곱하기는 더하기, 빼기에 비해 우선순위가 높아 * > +,- 로 우선순위가 정의되어 있습니다.
대회 규칙에 따라 + > - > * 또는 - > * > + 등과 같이 연산자 우선순위를 정의할 수 있으나 +,* > - 또는 * > +,- 처럼 2개 이상의 연산자가 동일한 순위를 가지도록 연산자 우선순위를 정의할 수는 없습니다.
수식에 연산자가 3개 주어졌으므로 가능한 연산자 우선순위 조합은 3! = 6가지이며, 그 중 + > - > * 로 연산자 우선순위를 정한다면 결괏값은 22,000원이 됩니다.
반면에 * > + > - 로 연산자 우선순위를 정한다면 수식의 결괏값은 -60,420 이지만, 규칙에 따라 우승 시 상금은 절댓값인 60,420원이 됩니다.
참가자에게 주어진 연산 수식이 담긴 문자열 expression이 매개변수로 주어질 때, 우승 시 받을 수 있는 가장 큰 상금 금액을 return 하도록 solution 함수를 완성해주세요.
Constraints
expression은 길이가 3 이상 100 이하인 문자열입니다.expression은 공백문자, 괄호문자 없이 오로지 숫자와 3가지의 연산자(+,-,*) 만으로 이루어진 올바른 중위표기법(연산의 두 대상 사이에 연산기호를 사용하는 방식)으로 표현된 연산식입니다. 잘못된 연산식은 입력으로 주어지지 않습니다.- 즉,
"402+-561*"처럼 잘못된 수식은 올바른 중위표기법이 아니므로 주어지지 않습니다.
- 즉,
expression의 피연산자(operand)는 0 이상 999 이하의 숫자입니다.- 즉,
"100-2145*458+12"처럼 999를 초과하는 피연산자가 포함된 수식은 입력으로 주어지지 않습니다. "-56+100"처럼 피연산자가 음수인 수식도 입력으로 주어지지 않습니다.
- 즉,
expression은 적어도 1개 이상의 연산자를 포함하고 있습니다.- 연산자 우선순위를 어떻게 적용하더라도,
expression의 중간 계산값과 최종 결괏값은 절댓값이 2^63 - 1 이하가 되도록 입력이 주어집니다. - 같은 연산자끼리는 앞에 있는 것의 우선순위가 더 높습니다.
Examples
| expression | result |
|---|---|
100-200*300-500+20 | 60420 |
50*6-3*2 | 300 |
Solutions
Code
import java.util.*;
class Solution {
public long solution(String expression) {
long result = Long.MIN_VALUE; // 최댓값을 저장할 변수, 초기값은 최소값으로 설정
List<String[]> priorities = new ArrayList<>(); // 연산자 우선순위 조합을 저장할 리스트
// 연산자의 모든 순열을 생성하여 우선순위 리스트에 추가
permute(new String[]{"*", "+", "-"}, new boolean[3], new ArrayList<>(), priorities);
// 각 우선순위에 대해 수식을 계산하고, 최댓값을 갱신
for (String[] priority : priorities) {
result = Math.max(result, operate(expression, priority)); // 현재까지의 최댓값과 비교해 갱신
}
return result; // 최종 최댓값 반환
}
// 우선순위에 따라 수식을 계산하는 함수
private long operate(String expression, String[] priorities) {
List<Long> numbers = new ArrayList<>(); // 숫자를 저장할 리스트
List<String> operations = new ArrayList<>(); // 연산자를 저장할 리스트
// 수식에서 숫자와 연산자를 분리하여 각각 리스트에 저장
for (String digit : expression.split("[^0-9]")) {
numbers.add(Long.parseLong(digit)); // 숫자 리스트에 추가
}
for (String operation : expression.split("[0-9]+")) {
if (!operation.isBlank()) operations.add(operation); // 연산자 리스트에 추가
}
// 주어진 우선순위에 따라 연산을 차례로 수행
for (String operation : priorities) {
while (operations.contains(operation)) {
int index = operations.indexOf(operation); // 현재 연산자의 위치 찾기
long result = operate(numbers.remove(index), numbers.remove(index), operation); // 두 숫자를 연산
operations.remove(index); // 연산자를 리스트에서 제거
numbers.add(index, result); // 연산 결과를 숫자 리스트에 다시 추가
}
}
// 최종 결과값의 절댓값 반환
return Math.abs(numbers.remove(0));
}
// 두 숫자와 연산자를 받아 연산을 수행하는 함수
private long operate(long a, long b, String operation) {
return switch (operation) {
case "+" -> a + b; // 덧셈
case "-" -> a - b; // 뺄셈
default -> a * b; // 곱셈
};
}
// 연산자의 모든 순열을 생성하는 함수
private void permute(String[] operations, boolean[] marked, List<String> current, List<String[]> permutations) {
// 현재 순열이 모든 연산자를 포함하면, 결과 리스트에 추가
if (current.size() == operations.length) {
permutations.add(current.toArray(new String[0]));
return;
}
// 각 연산자를 순차적으로 확인하여 순열을 생성
for (int i = 0; i < operations.length; i++) {
if (!marked[i]) { // 아직 사용되지 않은 연산자만 선택
marked[i] = true; // 연산자를 사용했다고 표시
current.add(operations[i]); // 현재 순열에 추가
permute(operations, marked, current, permutations); // 재귀 호출로 다음 연산자 추가
marked[i] = false; // 순열 처리 후 사용 상태 해제
current.remove(current.size() - 1); // 마지막 연산자 제거하여 새로운 순열 준비
}
}
}
}
Approach
이 문제는 주어진 수식에서 연산자들의 우선순위를 재정의하여 가능한 모든 경우의 값을 계산한 후, 그중 가장 큰 결과를 찾는 문제입니다. 이를 위해 순열을 생성하고, 완전 탐색(Brute Force) 방식으로 각 경우를 평가합니다.
1. 문제 분석
연산자들의 우선순위를 재정의해 가장 큰 결과값을 도출하는 것이 이 문제의 핵심입니다. 기본적으로 수식은 +, -, * 세 가지 연산자로 구성되어 있으며, 각 연산자의 순서를 어떻게 설정하느냐에 따라 결과가 크게 달라집니다. 주어진 수식에서 이 세 연산자의 순서를 변경하며 모든 경우의 수를 계산해, 그중 가장 큰 값을 찾는 것이 목표입니다.
우선, 세 연산자의 순서를 결정할 수 있는 경우의 수는 3! = 6가지입니다. 각 순열은 연산자의 처리 순서를 나타내며, 이를 통해 다양한 연산 결과가 도출될 수 있습니다. 이러한 조합은 수식에 등장하는 모든 연산자가 동일한 세트(+, -, *)로 고정되어 있기에 가능한 연산 순서가 명확히 제한됩니다. 이는 문제를 해결할 때 중요한 기반이 됩니다.
수식 자체는 숫자와 연산자가 섞여 있는 형태입니다. 이 수식을 처리하기 위해서는 먼저 피연산자(숫자)와 연산자 기호를 분리하여 각각을 따로 처리할 수 있도록 구성해야 합니다. 이를 통해 연산자를 우선순위대로 처리하면서 중간 연산 결과를 차례로 업데이트할 수 있습니다. 또한 결과가 음수로 나올 경우에는 절댓값을 취해 상금으로 평가되므로, 연산 후 항상 절댓값을 고려해야 합니다.
2. 접근 방식
문제를 해결하기 위해서는 여러 단계를 순차적으로 수행해야 합니다. 각 단계를 구체적으로 설명하면 다음과 같습니다:
- 연산자 우선순위 정의: 먼저, 주어진
+,-,*연산자의 우선순위를 변경할 수 있는 모든 경우의 수를 구해야 합니다. 이를 위해 순열을 사용해 6가지 가능한 우선순위 조합을 생성합니다. 각 순열은 연산자들의 우선순위를 다르게 설정한 것입니다. - 수식 분리: 주어진 수식에서 숫자와 연산자를 분리합니다. 숫자는 피연산자로, 연산자는 나중에 우선순위에 따라 처리할 기호로 리스트에 저장합니다. 이 단계는 이후 연산을 처리하는데 필요한 준비 단계입니다.
- 우선순위에 따른 연산: 생성된 각 우선순위에 따라, 수식에서 해당 연산자를 차례로 찾아가며 연산을 수행합니다. 높은 우선순위를 가진 연산자부터 순차적으로 계산을 진행하며, 각 연산자가 처리된 후 중간 결과를 업데이트합니다.
- 최댓값 갱신: 각 우선순위 조합에 따른 결과값을 계산한 후, 결과가 음수일 경우 절댓값으로 변환합니다. 모든 경우에 대해 절댓값을 비교해 가장 큰 값을 찾아 최종적으로 그 값을 갱신합니다.
이 단계들을 반복적으로 수행하며 최종적으로 가장 큰 값을 도출하게 됩니다.
3. 순열을 사용하여 연산자 우선순위 정의
연산자들의 우선순위를 변경할 수 있는 모든 조합을 만들기 위해서는 순열을 생성하는 과정이 필요합니다. +, -, * 세 가지 연산자의 순서를 바꿀 수 있는 경우의 수는 3! = 6가지입니다. 각 경우의 우선순위를 정의한 후, 이를 기반으로 수식을 처리하게 됩니다.
여기서 중요한 점은 각 연산자가 다른 연산자와 동일한 순위를 가질 수 없다는 점입니다. 즉, 연산자의 순서를 순열로 만들어 각 경우에 대해 처리하게 됩니다. 순열을 만들기 위해서는 연산자 배열과, 이미 사용된 연산자를 추적하기 위한 배열, 그리고 현재 순열을 저장할 리스트가 필요합니다.
순열을 생성하는 함수는 재귀적으로 호출되어, 아직 사용되지 않은 연산자를 차례로 추가합니다. 모든 연산자가 추가되면 그 순열을 리스트에 저장하게 됩니다. 이후에는 다시 연산자를 제거하면서 다른 경우의 수를 찾게 됩니다.
private void permute(
String[] operations, // 연산자 배열
boolean[] marked, // 사용된 연산자 추적
List<String> current, // 현재 순열 상태
List<String[]> permutations // 최종 순열 리스트
) {
// 현재 순열이 모든 연산자를 포함하면, 결과 리스트에 추가
if (current.size() == operations.length) {
permutations.add(current.toArray(new String[0]));
return;
}
// 각 연산자를 순차적으로 확인
for (int i = 0; i < operations.length; i++) {
// 사용되지 않은 연산자를 선택
if (!marked[i]) {
marked[i] = true; // 연산자를 사용했다고 표시
current.add(operations[i]); // 순열에 추가
permute(operations, marked, current, permutations); // 재귀 호출로 다음 연산자 추가
marked[i] = false; // 순열 처리 후 사용 상태 해제
current.remove(current.size() - 1); // 마지막 연산자 제거하여 새로운 순열 준비
}
}
}
이 함수는 3개의 연산자에 대해 모든 가능한 순열을 생성하여 리스트에 추가하는 역할을 합니다.
4. 연산자 우선순위에 따른 수식 계산 로직 구현
연산자 순열이 결정되면, 해당 순열에 맞게 수식을 차례로 계산합니다. 이를 위해서는 먼저 주어진 수식을 숫자와 연산자로 분리한 후, 연산자 우선순위에 따라 높은 우선순위의 연산부터 처리해야 합니다. 이를 통해 점진적으로 중간 결과를 갱신하며 최종 값을 도출합니다.
먼저 수식을 정규식을 사용해 숫자와 연산자를 각각 리스트에 저장합니다. 이렇게 분리된 리스트들을 통해 각 연산자를 순차적으로 처리하며, 연산이 이루어질 때마다 두 숫자를 계산하고, 그 결과를 다시 숫자 리스트에 넣습니다. 동시에 해당 연산자는 연산자 리스트에서 제거됩니다.
연산을 할 때, 높은 우선순위의 연산자부터 순차적으로 연산을 수행합니다. 각 우선순위에 해당하는 연산자를 리스트에서 찾고, 그 연산자의 위치에 있는 두 숫자를 연산한 후 그 결과를 다시 숫자 리스트에 저장합니다. 이 과정을 반복하며 모든 연산을 처리한 후에는 단 하나의 숫자만 남게 되는데, 이 숫자가 해당 순열에 따른 최종 결과값이 됩니다.
계산이 완료된 후에는 최종 값이 음수일 수 있으므로, 결과를 절댓값으로 변환해 반환합니다. 각 순열에 대해 이 과정을 반복하여 최종적으로 가장 큰 절댓값을 반환하게 됩니다.
private long operate(String expression, String[] priorities) {
// 숫자와 연산자를 저장할 리스트
List<Long> numbers = new ArrayList<>();
List<String> operations = new ArrayList<>();
// 숫자와 연산자 분리
for (String digit : expression.split("[^0-9]")) {
numbers.add(Long.parseLong(digit)); // 숫자 리스트에 추가
}
for (String operation : expression.split("[0-9]+")) {
if (!operation.isBlank()) {
operations.add(operation); // 연산자 리스트에 추가
}
}
// 우선순위에 따라 연산을 처리
for (String operation : priorities) {
while (operations.contains(operation)) {
int index = operations.indexOf(operation); // 해당 연산자의 위치 찾기
long result = performOperation(numbers.remove(index), numbers.remove(index), operation); // 해당 위치의 두 숫자 연산
operations.remove(index); // 사용한 연산자 제거
numbers.add(index, result); // 연산 결과를 숫자 리스트에 추가
}
}
// 최종 결과값의 절댓값 반환
return Math.abs(numbers.get(0));
}
5. 최종 결과 도출
마지막 단계에서는 연산자 우선순위에 따라 모든 경우의 수를 계산하며, 각 경우에서 계산된 결과값을 비교해가며 가장 큰 값을 찾아야 합니다. 각 순열에 대해 계산된 결과가 나올 때마다, 그 값과 현재까지의 최댓값을 비교해 더 큰 값을 계속해서 갱신합니다.
모든 우선순위 조합을 처리한 후, 가장 큰 절댓값이 최종적으로 반환됩니다. 이는 주어진 연산자 순열을 하나씩 처리하며 반복적으로 이루어지는 작업으로, 각 우선순위 조합의 연산 결과 중에서 최대값을 구하는 것이 목표입니다. 최종적으로 남은 값이 바로 우승자가 받을 수 있는 최대 상금 금액입니다.
long result = Long.MIN_VALUE; // 최댓값을 저장할 변수, 초기값은 최소값으로 설정
List<String[]> priorities = new ArrayList<>(); // 연산자 우선순위 순열을 저장할 리스트
permute(new String[]{"*", "+", "-"}, new boolean[3], new ArrayList<>(), priorities); // 순열 생성
// 각 순열에 대해 수식을 계산하고, 최댓값 갱신
for (String[] priority : priorities) {
result = Math.max(result, operate(expression, priority)); // 현재까지의 최댓값과 비교해 갱신
}
return result; // 최종 최댓값 반환
Complexity
- ⏳ TC: O(n!)
- 💾 SC: O(n)
연산자의 모든 순열을 생성하는 데는 n!의 시간이 소요되며, 각 순열에 대해 수식을 계산해야 하기 때문에 시간 복잡도는 O(n!)입니다. 공간 복잡도는 수식에서 숫자와 연산자를 저장하는 데 필요한 공간에 비례하므로 O(n)입니다. 여기서 n은 수식의 길이를 의미하며, 이는 피연산자와 연산자의 개수에 따라 달라집니다.
- Algorithm
- Brute Force